Solución de ecuaciones con 2 incógnitas

Sean: L= (x,y) Ax+By+C=0)
K=(x,y) A´x+B´y+C=0)¨

Si L no es paralela a K, entonces se cortan en el punto (a,b). este punta (a,b) es tal que (a,b) € L y (a,b9 pertenezca a K. si (a,b) pertenezca a L, entonces al hacer x=a y x= a, y=b, en la ecuación de la recta se cumple que:
Aa+Bb+C=0
Simultáneamente, si a (a,b) € K entonces el punto (a,b) debe satisfacer la ecuación de la reta K entonces:
A’a + B’b + C’ =0
El problema de encontrar las coordenadas del punto de intersección de la recta L y K, consiste en encontrar, específicamente los valores de A y B que cumplen las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente.
Resolver el problema es resolver simultáneamente dichas ecuaciones. Entonces:
Resolver simultáneamente el sistema de ecuaciones:
Ax + By +C = 0
A’x + B’y + C’ =0
Es encontrar el punto de intersección de las rectas que representan si ellas no son paralelas. Si son paralelas el sistema no tiene solución (es incompatible).
Debemos, entonces, estudiar algunos métodos que nos permitan encontrar los valores de a y b de (1) y (2). Esto es, debemos encontrar métodos que nos permitan encontrar valores de x,y (incógnitas) que satisfagan el sistema.
Los siguientes ejemplos ilustran estos métodos:
Ejemplo 1 método por sustitución
Resolvamos simultáneamente el sistema de ecuaciones:
3x+y-3=0 (1)
2x+y-5=0 (2)
Solución.
El método que vamos a emplear consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones remplazar en la otra, finalmente despejar la incógnita que aparece.
De la ecuación (1) despejamos y así: sumamos a ambos lados
-3x+3:
-3x+3+3x+y-3=-3x+3
Y=-3x+3 (3)
Reemplazamos el valor de y de la (3) en la ecuación (2):
2x+(-3x+3)-5=0
Reunimos términos semejantes: (2x-3x)+ (3-5) = 0
-x-2=0
Multiplicando por -1: x+2=0
Despejamos x:=-2 (4)
El valor de x en la (4) de remplaza en la (3) para obtener y:
Y=-3x+3=-3(-2) +3
=6+3= 9
El punto de intersección de las rectas
3x + y – 3 = 0 y 2x + y – 5 = 0
Es (a,b) = ( - 2,9) y la solución del sistema es x = - 2, y = 9.
Ejemplo 2. Solución por igualación
Resolvemos el sistema de ecuación con dos incógnitas:
2y-4x-6=0 (1)
y-x-2=0 (2)
Solución
El método por igualación consiste en despejar las mismas incógnitas en ambas ecuaciones e igualarlas. La ecuación resultante es una ecuación con una incógnita que se resuelve despejando la misma. Finalmente, con el valor así encontrado se remplaza en la incógnita despejada anteriormente para encontrar su valor.
Despejamos y en la (1) y (2). De la (1): 2y= 4x+6.
Multiplicando por ½ :
½(2y)= ½(4x+6)= ½(4x)+1/2(6)
Luego: y= 2x+3 (3)
De la (2): y=x+2 (4)
Igualamos la (3) Y (4): 2x+3=x+2.
Reuniendo términos semejantes: 2x-x=2-3
Lugo, x=-1 (5)
El valor de x en la (5) lo remplazamos en la (4):
Y=x+2=-1+2=1
Lugo : y=1.
El punto de intersección de las rectas 2y-4x-6=0 y y-x-2=0 es le punto (a,b) = (-1,1).
La solución del sistema es x=-1, y=1.
EJENMPLO 3
METODO DE COMPARACION
Encontremos el punto de intersección del a recta:
2x+y=5 (1)
x-y=4 (2)
Solución
El método por comparación consiste en comparar los coeficientes de la misma incógnita en ambas ecuaciones y multiplicar las mismas (si es necesario) convenientemente hasta que resulte iguales en las ecuaciones trasformada pero de signos contrarios; luego sumar miembro a miembro, estas ecuaciones trasformadas para eliminar dicha incógnita. La ecuación resultante es una ecuación con una incógnita que se resuelve. Con el valor encontrado se r5emplaza en una de las originales para obtener el valor de la otra incógnita.
Los coeficientes de la incógnita y en la (1) y (2) son iguales y de signo contrario, luego no es necesario o multiplicar. Sumando mimbro a miembro la (1) y (2) se tiene:
3x+y=5
x-y=4
3x =9
Multiplicando por 1/3, para despejar x:

1/3(3x)=1/3(9)
X = 3
Remplazamos el valor de x=3 en la (2)
x-y= 4
3-y= 4
Despejando y: 3-4=y
-1=y
Luego: y=-1.
El punto de intersección de las dos rectas es (a,b) = (3,-1).